Image Segmentation with a Finite Element Method

The Mumford-Shah functional for image segmentation is an original approach of the image segmentation problem, based on a minimal energy criterion. Its minimization can be seen as a free discontinuity problem and is based on Γ-convergence and bounded variation functions theories. Some new regularization results, make possible to imagine a finite element resolution method. In a first time, the Mumford-Shah functional is introduced and some existing results are quoted. Then, a discrete formulation for the Mumford-Shah problem is proposed and its Γ-convergence is proved. Finally, some numerical results, computed from both artificial and real images are presented and discussed. Résumé. La fonctionelle de Mumford-Shah est une approche originale du problème de la segmentation d’images, basée sur un critère d’énérgie minimale. Sa minimisation peut être vue comme un problème de discontinuités libres et repose alors sur les théories de la Γ-convergence et des fonctions à variations bornées. Des résultats de régularisation récents ont permi d’envisager une méthode de résolution, à base d’éléments finis. Dans un premier temps, le modèle est présenté et des résultats existants sont cités. Ensuite, une formulation discrète du problème de Mumford-Shah est proposée et sa Γ-convergence prouvée. Enfin, des résultats numériques, issus de calculs sur des images synthétiques et réelles sont proposés et discutés. AMS Subject Classification. 68U10, 65N30. Received: November 4, 1997. Revised: February 18, 1998. Introduction Our aim is to minimize the functional proposed by Mumford and Shah [12] in the problem of image segmentation, namely E(u,Γ) = β ∫